Ömer Hayyam’ın kübik denklemler üzerindeki çalışması, bir kübik
denklemin tüm farklı biçimlerinin kapsamlı değerlendirmelerini
içeriyordu. Örneğin, x
3 + bx = a ve x
3 + a = bx’in
farklı çözüm yöntemlerine sahip farklı denklem türleri olduğunu
düşündü. Bunun sonucunda, bir düzineden fazla farklı kübik denklem
biçimine çözümler sağladı. Hayyam’ın bu denklemleri çözme yöntemine bir
örnek, bir daire ve bir parabolün kesişimini bularak x
3 + bx = a denklemini çözmesidir. Bu iki eğrinin kesişimi denklemin çözümüdür.
Ömer Hayyam bir çift kesişen konik kesiti kullanarak x
3 + a
2x=b kübik denkleminin geometrik çözümünü görebilirsiniz. Önce x
2 = ay parabolünü oluşturdu. Daha sonra x ekseni üzerine AC=b/a
2
yarıçaplı bir yarım çember çizdi ve yarım çember ile parabolün kesişim
noktasına P dedi. Bir Q noktası oluşturmak için P’den x eksenine bir
diklik indirdi. P noktasının x koordinatı (yani AQ doğru parçasının
uzunluğu) verilen kübik denkleminin köküydü.
Kübik Denklemler Neden Geometri İle Çözüldü?
Ancak bir kübik
denklemin üç çözümü olması gerektiğini hatırlayın. Diğer iki çözüm,
yüzyıllar sonrasına kadar kabul edilmeyen bir kavram olan hayali
sayılardır. Bu nedenle Hayyam sadece gerçek kökler ile ilgili çözümler
bulabilmişti. Hayyam ve onun çağdaşları tarafından çözülen bu
problemlerin geometrik çözümleri, günümüzde bizim için pek bir anlam
taşımayacaktır. Ancak aslında bu problemler bizim sayı problemleri diye
isimlendirdiğimiz problemlerin çözümleriydi.
Örneğin şu soruyu
düşünün. On sayısını iki parçaya bölün. Öyle ki her iki parçanın
kareleri ile büyük parçanın küçüğe bölümünün toplamı 72 olsun. Bu
problemi denkleme dökerseniz karşınıza 3. dereceden bir denklem
çıktığını göreceksiniz. Günümüzde cebir yardımı ile bu denklemi çözmemiz
kolay. Ancak modern çağdan önce matematikçiler aynı Ömer Hayyam gibi bu
soruyu geometrik bir yaklaşım ile çözmek zorundaydı.
Aykut Çelikel
